Los números y el sistema de numeración.

 

 

                   

 

Los números y el sistema de numeración.

…”Los niños de 7 años han tenido muchas ocasiones de interactuar con los números de sus diversos usos sociales: números de puerta, teléfono, ómnibus, cantidad de hermanos, precios, almanaques, balanzas, juegos de azar, etc. El conocimiento espontáneo de los números se va dando a través del uso:

números para comunicar cantidades, comparar ,ordenar, contar, medir, calcular, identificar,

¿Cómo organizar todas estas informaciones?

¿Cómo lograr el establecimiento de relaciones no arbitrarias en ellas?

¿Cómo identificar los conceptos matemáticos que permiten ir construyendo?...”(1)

…”La adquisición de todo conocimiento supone un proceso de construcción intelectual, que es el resultado de la interacción entre las ideas y construcciones que el niño posee acerca del conocimiento que se le pretende enseñar y nuevos elementos de confrontación aportados por su entorno, en el que cumplen roles relevantes sus pares y el docente…”(2)

La intervención docente:

Para conocer un sistema hay que verlo en su totalidad, por compleja que esta sea e ir buscando las regularidades que nos permitan conocer las reglas que lo rigen.

Hay que indagar qué hipótesis traen los niños sobre el sistema y sus reglas:en qué situaciones han interactuado con números y que conclusiones han sacado al respecto.

(2)Maria del Carmen Curti. El quehacer matemático en la escuela

(1)Alicia Xavier de Mello “El quehacer matemático en la escuela”

 

 

ENTREVISTA    Segundo año

Escribir 211 y preguntar. ¿Qué número escribí?

Escribir el número 112 y preguntar ¿Qué número escribí?

¿Cuál de los dos es más grande?

¿Por qué uno es más grande que el otro si los dos tienen un dos y dos unos?

 

1)    LUCIO  R.  7 años

M:  211  ¿Qué número escribí?

L:   Doscientos  once.

M: 112  ¿Qué número escribí?

L:  ciento doce.

M: ¿Cuál de los dos es más grande?

L:   Éste, señala y lee el 211.

M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?

L:  Porque el 100 es menor que el doscientos.( mientras responde al hablar de cien  señala el 112 y de doscientos señala el 211)

2)  TATIANA .  9 años. Repite.

M:  211  ¿Qué número escribí?

T:    doscientos once.

M: 112  ¿Qué número escribí?

T:  No contesta. Se queda mirando la cartilla con el número que le presento.

Le reitero la pregunta y no contesta, toca el número y cada cifra del número con un intento de leer.

Como la niña no lo lee se lo dicto sin que vea la cartilla escrita con el 112. Tatiana escribe  1012.

M: qué número escribiste?

T: El que me dictaste y lee ciento doce.

M: ¿Cuál de los dos es más grande?  (le muestro los números que el docente escribió)

211         112.

T:   Señala el 211

M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?

T: Porque es más grande el que va adelante y señala el 2 del número 112.

Le vuelvo a reiterar la pregunta y le pido que además señale el número más grande.

T: 211.

M: ¿y por qué?

T: porque el 2 está adelante.

M: Ahora le muestro los números que ella escribió.

M: 211    y  1012. y le pregunto por el más grande.

T:   mira y señala. 1012.

M: Lee el número que yo te dicté y tu escribiste.

T: Con varios intentos lee: cien......cien.....cientodoce.

M: ¿Por qué si hoy contestaste 211 como más grande y se lo muestro el 211.

T:  Sí, pero este número vale más (1012 ) que este  211.

M: ¿Por qué? 

T: (cuenta las cifras)  y dice vale más este (señalando 1012)

3)   ANA LUCÍA .   7 AÑOS.

M:  211  ¿Qué número escribí?

A L:   Doscientos  once.

M: 112  ¿Qué número escribí?

A L:   ciento doce.

M: ¿Cuál de los dos es más grande?

A L:   Éste y señala el  211.

M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?

A L:  Porque  es el 200 y vale más el 2 cuando va adelante que cuando va atrás.

4)  LUCIO  F.   7 años

M:  211  ¿Qué número escribí?

L F:   Doscientos  once.

M: 112  ¿Qué número escribí?

L F:  ciento doce.

M: ¿Cuál de los dos es más grande?

L F:   Éste, señala y sin leer 211.

M: léelo.

L F: doscientos once.

M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?

L F:  porque el dos está adelante (señala el 211) y el uno aquí (señala el 112) está adelante.

M: (sin los números a la vista le hago la misma pregunta) ¿Cuál de los dos es más grande el 211 o el 112?

L F:  el doscientos once.

M: ¿Por qué? 

L F: porque es más alto que ciento doce.

M: ¿Si fueran chocolates, con cual 2 te quedas? (le muestro los números)

L F: con cualquiera.

M: por qué?

L F: porque son iguales, pero este es más grande porque está adelante (211)

M: Cuántos chocolates hay en este 2 (211)?

L F: dos

M: ¿Y cuántos hay en este 2  (112)?

L F: dos.

5)  MARTINA .  7 años

M:  211  ¿Qué número escribí?

Mar:   Doscientos  once.

M: 112  ¿Qué número escribí?

Mar:  ciento doce.

M: ¿Cuál de los dos es más grande?

Mar   Éste, 211.

M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?

Mar:  Porque el  211 es mayor que el 112  (responde sin tener que mirar las cartillas con los números escritos).

6)  PAULA.    7 años

M:  211  ¿Qué número escribí?

P:   Doscientos  once (lee el número y lo sigue con el dedo)

M: 112  ¿Qué número escribí?

P:  ciento doce.

M: ¿Cuál de los dos es más grande?

P:   Éste, señala y lee el 211.

M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?

LP  Porque este (211) es de los doscientos y vale más, es más grande que el 112.

M: ¿El 211 es más grande porque es de los doscientos, y el 112 de quién es?

P: Es del 137 que yo tomo con mamá para venir a la escuela. Pero es más chico.

7)  Horacio.  7 años

M:  211  ¿Qué número escribí?

H:   Doscientos  once.

M: 112  ¿Qué número escribí?

H:  ciento doce.

M: ¿Cuál de los dos es más grande?

H:   Éste, señala y lee el 211.

M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?

H:  Porque  tiene un número más grande al empezar.

M: Si fueran chicles, con qué dos te quedarías?

H: Con este (señala el 2 del 211)

M: Por qué?

H: Porque son diferentes, al empezar.

M: Qué significa que son diferentes al empezar, si los dos son 2?

H: En el  211 (lo lee)  el dos es más chicles porque es más, porque está al empezar.

M: ¿Cuántos chicles hay en el 2 del  211 y el  2 del 112? (le muestro la cartilla)

H: Señala el 2 del  211 y dice: “son doscientos chicles”, y señala el 2 del 112 y dice: “son dos chicles”

8)  SOFÍA.  7 años

M:  211  ¿Qué número escribí?

S:   Doscientos  once.

M: 112  ¿Qué número escribí?

S:  ciento doce.

M: ¿Cuál de los dos es más grande?

S:   Éste, señala y lee el 211.

M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?

S:  Porque  vale más.

Pero si sumaras todos las cifras ( se ríe, señalando las cifras 1, 1,  2 de ambos números 112 y 211) valen lo mismo . Valen cuatro.

M: Pero qué número es más grande?

S: El  211

M: ¿Por qué?

S: Porque  está después que el 112.

(Se muestra muy segura al responder)

9)  CAMILO.  7 años.

M:  211  ¿Qué número escribí?

C:   Doscientos  once (señala con el dedo)

M: 112  ¿Qué número escribí?

C:  ciento doce (señala con el dedo)

M: ¿Cuál de los dos es más grande?

C:   Éste, señala  el  211.

M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?

C:  Porque este (211)  tiene doscientos y este (112) tiene  cien. Este (211) es de una fila, y este (112) es de una fila más chica.

M: ¿De que filas?

C: De las filas que teníamos pegadas  en primero.

M: ¿Si fueran chocolates con que dos te quedarías, con este (211 o este 112)

C: Con el de la fila de los doscientos.

M: ¿Cuál es?

C: Este, el doscientos once. (señala correctamente)

M: ¿Por qué?

C: Porque este dos (211)  vale doscientos, porque es de la fila de los doscientos, y este (señala el uno de las centenas del 112) vale cien.

10)  ANDRÉS. 7 años.

M:  211  ¿Qué número escribí?

A: ¿Cuál?

M: se lo muestro en la cartilla. (211)

A: No sé.

M: 112  ¿Qué número escribí?

A:  No sé.

M: ¿Son los dos iguales?

A: No.

M: ¿por qué?

A: porque son diferentes.

M: ¿En qué?

A: Uno es más grande

M: ¿Cuál?

A: Este (señala el 211)

M: ¿Por qué es más grande?

A: No sé.

M: léelo.

A: No quiero.

M: ¿Por qué es más grande éste (211) que éste (112) , se los leo.

A: No sé.

M : Escribí el número 100

A: (lo escribe correctamente)

M: Escribí el número 200

A: (lo escribe correctamente)

M: Escribí 211.

A: No.

M: Escribí 112

A: No.

(se da por finalizada la entrevista con Andrés para no generar un clima de tensión y alto riesgo)

CONTENIDO: Numeración, valor posicional.

OBJETIVO: Generar a través de reflexiones en los alumnos la comprensión del valor posicional de los números.

ANÁLISIS DE LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS.

Volviendo a leer las 10 entrevistas realizadas en clase en forma individual, se puede plantear que hay un conocimiento de numeración y del valor posicional en segundo año de escuela y en el mes de junio.

Los alumnos en sus diferentes y variadas respuestas, las que en general son positivas y con posturas receptivas, pueden responder a las preguntas pautadas en la entrevista como a las intervenciones docentes oportunas, en que vi la necesidad de plantear en  algunas oportunidades.

Dicha necesidad, de realizar otras intervenciones docentes, de las plenteadas, surge de las respuestas mismas que daban los alumnos.

Se introducen en las entrevistas variables didácticas, las cuales no estaban previstas en el ejercicio. Estas variables, que introducen elementos nuevos a los ejercicios promueven y demuestran avances conceptuales.

Al hablar de número en nuestro sistema de numeración nos encontramos con elementos, con hipótesis que aparecen en las entrevistas.

Quiero destacar  la importancia que se le debe de dar en la escuela, a las “buenas prácticas de enseñanza”, para la comprensión de la  numeración.

Nuestro sistema de numeración  es económica pero no transparente. Los alumnos no peden como en otros sistemas de numeración, determinar el dibujo del símbolo y el valor del mismo. Por ello en las entrevistas en algunas ocasiones pregunto especialmente: “Si fueran chocolates, con que dos te quedarías 211 o 112? Me remito específicamente al valor posicional.

Es importante seguir indagando en las hipótesis que traen los  alumnos, y en las dificultades que plantea la numeración hablada, que no es posicional, de la numeración escrita.

La hipótesis de que la numeración hablada se traduce en la notación escrita  es lo que lleva a los niños a producir notaciones no convencionales.

Por ejemplo en la entrevista Nº 2 cuando Tatiana no lee el número 112, le pido que lo escriba. Aquí se ve claramente que hace una correspondencia equívoca en  112 escribiendo 1012 y una lectura de 112.

Además presenta la hipótesis “el primero es el que manda” y “ a mayor número de cifras mayor valor”. Responde el  mayor 211 de 112 porque el 2 está primero.

Cuando le muestro las notaciones de 211 y 1012 (escrita por ella) responde que el más grande es 1012 porque al contar las cifras para ella dice” vale más”.

Lucio en la entrevista Nº 1 y  Ana Lucía en la entrevista Nº 3, Paula en la entrevista Nº 6 y Camilo en la entrevista Nª 9 responden el valor del número más grande desde los nudos, desde las familias. En sus respuestas se escucha:

Camilo: “porque este tiene doscientos (211) y este tiene cien (112). Este (211) es de una fila y este (112) es de una fila más chica”

Aquí Camilo puede comparar el valor de ambas notaciones no por las hipótesis “el  primero es el que manda”  al igual que Lucio, Ana lucía y Paula, sino por pertenecer ambas notaciones a la familia de los cien y de los doscientos.

Se ve en la respuesta de:

Paula:

M: ¿Cuál de los dos es más grande?

P:   Éste, señala y lee el 211.

M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?

LP  Porque este (211) es de los doscientos y vale más, es más grande que el 112.

M: ¿El 211 es más grande porque es de los doscientos, y el 112 de quién es?

P: Es del 137 que yo tomo con mamá para venir a la escuela. Pero es más chico.”

Paula además de saber que pertenecen a familias diferentes compara y relaciona con la numeración de la vida cotidiana: “Es del 137 que yo tomo con mamá para venir a la escuela. Pero es más chico.” Se ve el valor social del uso del número.

Si se restringe el campo numérico se le impide a los alumnos poner en juego lo que saben. En este caso Paula llega a la escuela en el ómnibus 137. Lo ve escrito, lo maneja lo sabe, y lo utiliza en este ejercicio que le plantea el docente. Se aprende mejor conociendo otros números y la relación entre ellos. Paula dice que el 112 es del 137. Hay que seguir investigando en la secuencia didáctica a trabajar qué significa para Paula y para otros niños que el 112 es del 137, no dice el 112 es de los cienes , como dice el 211 es del 200.  Paula no solo puede recitar el número 137 del ómnibus, o sea escribirlo y leerlo. Va más allá lo relaciona con los cienes en el número 112.

Ana Lucía responde teniendo presente los nudos:

“ Porque  es el 200 y vale más el 2 cuando va adelante que cuando va atrás”  A pesar de decir cuando va adelante que cuando va atrás, ya se diferencia en su respuesta un esbozo de los nudos al decir “porque es el 200”.

En la entrevista Nº 4 de Lucio F. Se ve que puede diferenciar el valor de las notaciones por las hipótesis ”el primero es el que manda”   LF:   “porque el dos está adelante (señala el 211) y el uno aquí (señala el 112) está adelante.

A pesar de responder correctamente hay que seguir explorando en Lucio F ya que después no logra contestar correctamente ¿si fueran chocolates el 2 del 211 y el 2 del 112, con cuál te quedarías? Aquí Lucio F. Responde por momentos bien desde la hipótesis “el primero es el que manda” y logra decir que es más grande el 2 del 211, porque está primero. Luego dice que ambos dos del 211 y del 112 valen lo mismo:

M: Cuántos chocolates hay en este 2 (211)?

L F: dos

M: ¿Y cuántos hay en este 2  (112)?

L F: dos.

En la entrevista Nº 7 Horacio responde también por la hipótesis “el primero es el que manda”, pero demuestra en el final de sus respuestas que el valor del dos en 211 y en 112 es diferente por la posición.

M: ¿Cuántos chicles hay en el 2 del  211 y el  2 del 112? (le muestro la cartilla)

H: Señala el 2 del  211 y dice: “son doscientos chicles”, y señala el 2 del 112 y dice: “son dos chicles”

Sofía en la entrevista Nº 8 no presenta dificultad alguna. Llega a jugar incluso con la suma de las cifras:

M: ¿Cuál de los dos es más grande?

S:   Éste, señala y lee el 211.

M: ¿Por qué si los dos tienen un dos y dos unos?

S:  Porque  vale más.

Pero si sumaras todos las cifras ( se ríe, señalando las cifras 1, 1,  2 de ambos números 112 y 211) valen lo mismo . Valen cuatro.

M: Pero qué número es más grande?

S: El  211

M: ¿Por qué?

S: Porque  está después que el 112.

(Se muestra muy segura al responder)

Andrés de 7años (entrevista Nº 10)  se muestra muy reticente a la entrevista, negándose a responder varias veces con un “no se”-.

Puede decirse que sabe cual de los dos es más grande y señala, pero no colabora en fundamentar.

No lee los números 211 y 112 pero escribe correctamente los números 100 y 200. Aquí hay que investigar además en los nudos. Puede ser que memorice los nudos sin comprensión.

Continuar trabajando y generando “buenas prácticas de enseñanza”  en numeración es fundamental en nuestras escuelas.

Como mencioné anteriormente nuestro sistema de numeración es económico porque la posicionalidad hace a que diez símbolos sean suficientes para poder escribir finitas notaciones numéricas.

Pero economía y transparencia no son dos variables independientes. Al ser el sistema de base diez económico no lo hace transparente. Esto lleva al trabajo en numeración desde diferentes prácticas y a las oportunas intervenciones docentes para producir avances conceptuales hacia el concepto de posicionalidad  y transparencia. Es por ello que cuando hablo de pensar y repensar en “buenas prácticas de enseñanza” me remito a Brousseau:” .....una cierta dosis de errores y contrasentidos, no solo del lado de los alumnos, sino también del lado de la enseñanza.....”

“Al pensar el trabajo didáctico con la numeración escrita es imprescindible tener presente una cuestión esencial: se trata e enseñar-y de aprender-un sistema de representación .Habrá que crear situaciones que permitan develar la organización propia del sistema como descubrir de qué manera este sistema encarna las propiedades de la estructura aritmética que él representa…”(3)

(3) Parra Cecilia“Didáctica de las matemáticas ,p.p143.El sistema de numeración:un problema didáctico Lerner y Sadovsky.

Bibliografía

Curti. Maria del Carmen “El quehacer matemático en la escuela”.

Parra,Cecilia”Didáctica de matemática”Ed Paidos “EL sistema de numeración :un problema didáctico de Delia Lerner y Patricia Sadovsky.

Ressia,Beatriz,(2003)”La enseñanza del número y del sistema de numeración en el nivel inicial y primer año de la E.G.B.Ed Paidós. Mabel Panizza (Com)

Xavier de Mello Alicia “El quehacer matemático en la escuela”

Ana M.Castro Luca

M/Directora

Licenciada en Cs de la Educación