Dirección de Educación General Básica
Gabinete Pedagógico Curricular - Matemática
ORIENTACIONES
DIDÁCTICAS PARA
LA ENSEÑANZA DE
LA DIVISIÓN EN LOS
TRES CICLOS .
2
Introducción
Durante los últimos cuatro años se han desarrollado numerosos
encuentros organizados por esta dirección con maestros,
profesores, directores
e inspectores de diferentes escuelas, distritos y regiones.
La finalidad de los mismos fue ofrecer espacios de reflexión
conjunta
sobre la enseñanza de diversos contenidos del área de matemática.
En el marco de estas experiencias, se ha elaborado el documento
1/99
en el que han participado maestros y directores con el objetivo de
difundir
algunas de las ideas y actividades desarrolladas en los encuentros
y en las
aulas.
En estos años, muchos de los docentes participantes, han realizado
acciones de difusión en sus escuelas o distritos, convocando a
colegas a
compartir sus experiencias.
Este documento apunta en esa misma dirección: acercar al resto de
los
docentes el trabajo realizado por los participantes de los
encuentros. En este
caso particular, sobre la enseñanza de la división.
Queremos agradecer la colaboración y el apoyo brindado por: Jefes
de
Inspectores, inspectores, directores, profesores y maestros,
maestros
recuperadores, orientadores educacionales y a los directores de
las escuelas
sedes de los encuentros. Todos ellos han participado de modos
diversos para
su realización.
También, y muy especialmente, agradecemos a los docentes que han
difundido sus experiencias organizando encuentros, a los maestros
que han
abierto las puertas de sus aulas para compartir clases, y a todos
aquellos que
nos hicieron llegar informes del trabajo en las aulas y
producciones de sus
alumnos con la finalidad de difundir y compartir experiencias
didácticas. (No
podemos mencionarlos a todos aquí ya que se trata de más de
quinientos
docentes)
Asimismo aclaramos que hemos tenido que seleccionar producciones
para elaborar este documento, y en dichos casos sí mencionaremos
escuelas y
docentes. Sepan disculparnos - el resto de docentes y alumnos –
por no
poder volcar aquí la enorme cantidad de producciones recibidas,
que, serán
muy útiles para continuar con los trabajos de difusión en otros
encuentros.
Horacio Itzcovich y Claudia Broitman
3
La Enseñanza de la División en los tres ciclos de la EGB
¿Por qué la enseñanza de la división? Muchos docentes solicitaron
trabajar en torno a este contenido dada la gran cantidad de
problemas que
encontraban para su enseñanza: dificultades de los alumnos para
apropiarse
del algoritmo, especialmente con divisores de dos cifras, ausencia
de
estimación previa y de control posterior acerca de los resultados
obtenidos; no
reconocimiento de la división como recurso para resolver ciertos
tipos de
problemas. Otra dificultad habitual mencionada por los docentes
fue la
asociación de la palabra “repartir” a la operación de división que
realizaban los
alumnos. Por ejemplo, frente a la presencia de dicho término en un
problema,
algunos niños dividían aunque no fuera ésta la operación que
resolvía el
problema, y si no aparecía dicho término, algunos alumnos no
reconocían la
división como medio de resolución.
A partir de estas dificultades comunes planteadas por los docentes
en el
primer encuentro en diversas regiones propusimos revisar su
enseñanza.
El marco teórico desde el cual trabajamos es la Didáctica de la
Matemática. Consideramos en particular los aportes de Brousseau
(1986) y
Vergnaud (1986), las indagaciones psicológicas de Ferreiro (1976),
y Carraher-
Carraher y Schliemann (1991). También entre los principales
aportes,
consideramos los trabajos psicológicos y didácticos de Lerner
(1992, 1994) y
Sadovsky (1994, 1997, 1999, 2000), los artículos de Parra (1994) y
Saiz (1994)
y algunos de nuestros propios trabajos curriculares y de difusión
de propuestas
didácticas (1997, 1999, 1999, 2000).
El punto de partida fueron ciertas ideas que han sido
desarrolladas en
los encuentros y serán abordadas en este documento:
“La enseñanza de la división puede iniciarse desde primer año de
la EGB.”
“Los problemas de división pueden ser resueltos por una variedad
de
procedimientos y operaciones.”
“La división es una operación que permite resolver una gran
variedad de
problemas.”
“El dominio del algoritmo no garantiza reconocer sus ocasiones de
empleo
en distintos tipos de problemas.”
“El algoritmo es solamente un recurso de cálculo – y no necesariamente
el
principal – que los niños deben aprender en la EGB.”
“El estudio de la división es de tal complejidad que exige muchos
años de la
escolaridad. Su enseñanza abarca también el tercer ciclo”
En este documento desarrollaremos estas ideas.
4
Parte I : Problemas “de dividir” desde primer grado1
Hemos planteado dos ideas complementarias: “La enseñanza de la
división puede iniciarse desde primer año de la EGB” y “Los
problemas de
división pueden ser resueltos por una variedad de procedimientos y
operaciones”.
Los niños están en condiciones de resolver mediante diversos
procedimientos problemas de reparto y partición desde mucho antes
de
dominar recursos de cálculo2.
Enfrentar a los alumnos desde los primeros años de escolaridad a
este
tipo de problemas les permite, por una parte, aprender a elaborar
estrategias
propias de resolución de problemas cuando no tienen aún disponible
un
recurso económico. Y por otra parte, abona al proceso de
construcción del
sentido de dicha operación.
¿Qué implica aprender a dividir? Entre otros aspectos - que iremos
desarrollando en este documento - , abarca construir estrategias
variadas de
resolución de problemas.
¿Qué tipos de problemas pueden plantearse desde primer grado? ¿Qué
procedimientos utilizan los niños? ¿Qué avances se pueden
provocar?
Problemas de reparto con varias soluciones3
Hemos sugerido trabajar con problemas de reparto, incluyendo
algunos
en los que el reparto no es necesariamente equitativo. La
finalidad está en
lograr que los niños analicen frente a los enunciados de los
problemas, si hay o
no una restricción de reparto equitativo. Leer enunciados,
revisarlos,
transformarlos, considerar la cantidad de soluciones posibles,
etc. forma parte
de la tarea de aprender a resolver un problema.
Por ejemplo Claudia Lambertucci, maestra de primer año de la
escuela
Nº 3 de Roque Pérez, les planteó a los alumnos el siguiente
problema: “Un
señor tiene 8 caramelos y se los da a dos niños ¿Cuántos les da a
cada uno?” .
La mayor parte de los niños contestó que eran 4 para cada uno. La
maestra
preguntó entonces si era posible darle 5 a uno y 3 a otro. Al
principio los niños
comentan que sería injusto. Claudia les propone releer el problema
para
analizar si es posible desde el enunciado. Como el mismo no dice
nada acerca
de la equitatividad del reparto, les pregunta qué debería decir el
mismo para
que “sí o sí deban recibir la misma cantidad”. Los alumnos
sugieren agregar al
enunciado “en formas iguales”. Esto es registrado en los
cuadernos.
1 Ver Broitman (1998,1999) ; Pre Diseño
Curricular 1º ciclo GCBA (1999) y Doc 1/99 D.E.P.
Prov de Bs. As.
2 Incluso este tipo de problemas es
propuesto para ser planteado en el Nivel Inicial en el Diseño
Curricular de la Pcia de Bs. As, pág. 45.
3 Ver Pre Diseño Curricular 1º y 2º
ciclos. GCBA (1999)
5
Estas mismas discusiones y conclusiones se plantearon en 1º, 2º y
3º
años de la EGB, con otros contextos y números mucho mayores.
Con la misma finalidad de promover reflexiones acerca de que hay
repartos equitativos y no equitativos, en la escuela Nº 39 de
Morón, le
propusieron a los chicos de 1º año un problema en el que tenían
que pegar
figuritas en un pequeño “álbum casero” de 4 páginas. En la
contratapa había
una hoja en blanco para anotar en un cuadro de doble entrada
cuántas figuritas
se pegaban en cada página y cuántas sobraban. La primera vez se
les entregó
a cada grupo un álbum y 22 figuritas. Los niños las empezaron a
pegar
llenando la primera página con muchas y el resto en las
siguientes. Por
ejemplo, Rocío y Pablo llenaron así su álbum:
La segunda consigna fue diferente: se les entregó a cada grupo un
nuevo álbum y 28 figuritas con la consigna de que pegaran todas
las figuritas,
pero que, esta vez haya la misma cantidad en cada página. Esta
restricción les
6
exigía pasar de un procedimiento improvisado de pegado, hacia la
necesidad
de realizar una anticipación de cuántas pegar en cada página.
Algunos niños logran pegar 7 en cada hoja utilizando un
procedimiento
de reparto de 1 en 1 , como Nazarena y Micaela , o de 2 en 2 como
Magalí.
Otros niños pegan 6 en cada uno y escriben que les sobran 4, como
Tomás y Jazmín.
Luego, la docente plantea a toda la clase “si se pueden seguir
repartiendo las figuritas que sobran”. A partir de esta intervención, se promueve
un intercambio colectivo, producto del cual, se arriba a la
conclusión de que 7
es la respuesta correcta.
Nos parece importante resaltar, que en esta clase, como sucede en
tantas otras, hubo muchos niños que obtuvieron resultados
erróneos. Aquí no
se trata de cómo “corregir” los errores que aparecieron, sino
considerarlos
motor de debate y avance para todos.
El registro en el cuaderno de la discusión colectiva o de las
conclusiones
obtenidas permitirá resaltar el producto del trabajo, por ejemplo “algunos chicos
repartieron menos, pero se podía seguir repartiendo”.
Problemas de reparto equitativo
Los niños de los primeros años de la EGB, cuando no disponen de un
algoritmo para dividir, utilizan diversos procedimientos para
resolver los
problemas.
Silvia Palacios, maestra de 1º año de la Escuela Nº 11 de Vte.
López
propuso a sus alumnos la resolución de un problema: “Para la biblioteca del
aula juntamos 15 libros. Tenemos que acomodarlos en 5 estantes y
que en
todos los estantes haya la misma cantidad de libros ¿Cuántos
libros
pondremos en cada uno?”
7
Los niños dibujan, cuentan o suman para resolverlo:
Los niños de primer año de la Escuela Nº 1 de 25 de Mayo,
resuelven
problemas de reparto de 8, 12 y 14 repartidos en 2 partes iguales
apoyándose
en los recursos de cálculo ya conocidos. Evidentemente el trabajo
con los
“dobles” y “mitades” de ciertos números funciona como un recurso
disponible
para resolver las situaciones planteadas:
8
En la Escuela Nº 119 de González Catán (La Matanza), en el
contexto
de un juego de dados y chapitas que involucraba repartos, la
maestra de 1º
año y el director, Mariano Guerschman, propusieron a los niños “dejar a un lado
los dados y las chapitas” y determinar “cuántas chapitas le corresponden a
cada uno si hay que repartir 30 chapitas entre 4 chicos y que
todos reciban la
misma cantidad”.
Un grupo hace 30 rayitas y haciendo un reparto uno a uno llegan a
repartir 6 a cada uno, escriben el 6 al lado de las rayitas y
anotan el total de
chapitas repartidas, en este caso 24. Luego, se dan cuenta de que
pueden
seguir repartiendo y tachan el seis, agregan una rayita más a cada
uno y ponen
7 para cada uno:
9
Otro grupo también apoyándose en su previo dibujo de las rayitas,
reparte 5 a cada chico, y luego agregan 2 más, anotando finalmente
7 en la
respuesta al problema.
En la escuela Nº 8 de Bella Vista, (San Miguel), la directora
Patricia
Reinoso, y las maestras de 2º año, Marcela Cichini y Telma Del
Valle,
proponen a los niños el siguiente problema: “Tengo $ 45, gasto $5 por día.
¿Para cuántos días me alcanza?”. Los niños resuelven este problema apelando
a diversos recursos: restas sucesivas, conteo de 5 en 5 hasta
llegar a 45.
Cristian hace lo siguiente:
10
Diego comienza haciendo restas sucesivas y cuando llega a 30 se da
cuenta de que no precisa escribir las restas, anotando
directamente los
números al descontar de 5 en 5.
Ana Migiotti, maestra de 3º año de la escuela Nº 14 de N. de la
Riestra
(Distrito 25 de mayo), propuso a los niños este problema: “Mi mamá donará
una torta para la fiesta. Para hacerla necesita 25 galletitas de
chocolate. Si
cada paquete tiene 5, ¿cuántos paquetes necesita?”. Algunos niños dibujan,
otros suman, otros restan, otros multiplican y hasta algunos
producen una
escritura próxima a la división:
Evidentemente, es posible generar clases de matemática, en las
cuales
el ambiente de trabajo es propicio para la producción y
elaboración de
estrategias diversas, como sucede en estas clases. Es importante
promover
luego una instancia de trabajo colectivo que permita comparar
dichas
estrategias. Tal vez “a los ojos de los niños” todos estos
recursos no guarden
relación entre ellos. Queda bajo la responsabilidad del docente,
generar en la
11
clase, un trabajo de análisis de las relaciones entre unos y
otros. Del mismo
modo, el registro de las
conclusiones o de los diversos recursos posibles en
carteles en el aula y en cuadernos,
ayudará a los alumnos a apropiarse de lo
producido en la clase.
Problemas en los que hay que decidir qué hacer con lo que sobra4
Es importante desde los primeros contactos con los problemas de
reparto enfrentar a los alumnos a tener que analizar qué hacer con
los
elementos que sobran. Por ejemplo, Cora Corbetto, maestra de 1º
año de la
escuela Nº 7 de Navarro, les plantea a los alumnos un problema en
el que hay
que repartir chocolates y otro en el que hay que repartir globos,
con el objetivo
de promover la discusión acerca de que “los chocolates se pueden partir, pero
no lo globos”
Cora nos cuenta que “en el primer problema muchos
alumnos decidieron
repartir los chocolates en partes iguales y el que sobraba no
dárselo a ninguno
de los dos. Otros alumnos decidieron darle el que sobraba en
mitades iguales a
cada uno de los niños. Manifestaron que podían hacerlo ya que eran
chocolates y se pueden partir a la mitad. En el segundo problema
también
repartieron en partes iguales, y el globo que sobró dijeron no
poder repartirlo
porque se reventaría.”
Por ejemplo, Flavio escribe primero 3 chocolates, y luego dibuja
medio
más para cada uno.
4 Ver Broitman (1997, 1999) y Documento
1/99 D.E.P. Prov. Bs. As.
12
Belén reparte 4 a uno y 3 a otro, y luego tacha uno de los
chocolates
repartidos para que queden iguales.
Graciela Bracco maestra de 2º año de la escuela Nº 14 de 25 de
Mayo
plantea a sus alumnos el siguiente problema: : “Un señor tiene 18 caramelos y
quiere repartirlos en partes iguales para sus 4 hijos. ¿Cuántos
les dará a cada
uno?. Agustina realiza una partición del
resto:
13
Es necesario recordar que en la primera producción la mayoría de
los
niños no toma en cuenta la posibilidad de repartir o no lo que
sobra, o bien “se
los dan a uno”. Es a través de una instancia de discusión que
todos los
alumnos podrán ir apropiándose de la solución correcta. Lo
aprendido, será
fértil para resolver un nuevo problema.
Tampoco será suficiente con una sola situación para que todos los
niños
puedan aproximarse al conocimiento que está en juego. Será
necesario
planificar una colección de problemas para varias clases.
Parte II : Diferentes tipos de problemas de división5.
Al inicio hemos planteado otras dos ideas: “La división es una
operación
que permite resolver una amplia gama de problemas diversos” y “El
conocimiento del algoritmo no garantiza el reconocimiento de su
uso en
distintos tipos de problemas”.
Como hemos visto en la parte I, un tipo de problemas que pone en
juego
la división, son los problemas de reparto o partición. La
operación de división
ha estado clásicamente vinculada a este tipo de problemas. Son los
más
sencillos de reconocer para los niños y los más presentes en la
escuela. Sin
embargo, el concepto de la división permite resolver una mayor
diversidad de
situaciones.
¿Qué otros tipos de problemas pueden plantearse a los alumnos de
los
diferentes años?
Problemas de organizaciones rectangulares
Así como para resolver un problema como el siguiente: “En un teatro hay
32 filas de butacas. Si en cada fila hay 18 butacas. ¿Cuánta gente
sentada
entra?” es pertinente recurrir a la
multiplicación, la división es una herramienta
válida para resolver problemas que impliquen organizaciones rectangulares6.
Por ejemplo, problemas como los siguientes, en los que no hay
resto:
- “Miro un portero eléctrico y
cuento que hay 28 botones. Si hay
departamentos A,B, C y D. ¿Cuántos pisos hay? (no hay deptos. en
PB)”
- “En una chacra hay 4032
limoneros. Si están plantados en 72 filas.
¿Cuántos árboles hay en cada fila?”
O como el siguiente, en el que hay resto:
- “Tengo 234 baldosas para
embaldosar la terraza. Si voy a colocarlas en 17
filas. ¿Cuántas puedo poner en cada una? ¿Sobran baldosas?
¿Cuántas?”
En la Escuela Nº 1 de Hurlingham, en segundo año, se les propuso a
los
niños una batería de problemas con patios, filas y columnas: “Tengo 17
5 Ver Saiz (1994); Documento Nº4 (1997)
GCBA y Pre Diseño GCBA (1999)
6 Ver documento 1 /99 DEP Prov. de Bs.
As.
14
baldosas para armar un patio rectangular. Si pongo 3 baldosas en
cada fila.
¿Cuántas filas puedo armar? ¿Cuántas baldosas sobran?
Por ejemplo, en el grupo de Pamela, Mirna, Jennifer y Noelia
recurren al
dibujo:
Luego se les planteaban directamente los datos:
- 23 baldosas, 5 en cada fila. ¿Cuántas filas? ¿Cuántas sobran?
- 53 baldosas, 5 en cada fila. ¿Cuántas filas? ¿Cuántas sobran?
- 42 baldosas, 8 en cada fila. ¿Cuántas filas? ¿Cuántas sobran?
En otro grupo, inician el proceso de resolución del primero de
estos
problemas a través del dibujo, luego realizan un cálculo de sumas
reiteradas y
anotan a continuación la suma del resto para reconstruir el total
de 23.
Si bien no es objetivo de segundo año el estudio de los recursos
de
cálculo de la división, los niños tienen herramientas diferentes
que les permiten
resolver estos problemas. Del mismo modo que hemos señalado para
los
problemas de reparto, es parte del estudio de esta operación en el
primer ciclo
la resolución de problemas de este tipo por medio de procedimientos
diversos
(en este caso dibujos inicialmente, y luego sumas, restas o
multiplicaciones).
En tercer año, este tipo de problemas puede incluso abonar para el
estudio del algoritmo. Por ejemplo, Marcela Vila, maestra de
tercer año y
Silvina Abramoff, maestra recuperadora, ambas de la Escuela Nº151
de Ciudad
Evita, La Matanza, plantearon a sus alumnos un conjunto de
problemas. Nos
aclaran que los niños venían trabajando desde segundo año con
diversos
problemas de organizaciones rectangulares, en el marco del trabajo
con la
multiplicación.
“Armar un patio rectangular de
28 baldosas y 4 baldosas por fila. ¿Cuántas
filas va a tener el patio?”.
“Armar un patio rectangular con 36 baldosas y 5 baldosas en cada
fila
¿Cuántas filas va a tener el patio?”
Para resolver este tipo de problemas, muchos alumnos recurren al
dibujo
de los patios, como Lucas y Florencia:
15
A continuación sus docentes les solicitan que busquen cálculos que
representen la situación. Producen allí multiplicaciones y sumas
organizadas
de diferentes maneras. Por ejemplo:
5 x 7 = 35 4 x 6 = 24
+ 1 +4
36 28
A partir de este trabajo, se inició la construcción del algoritmo
de la
división, aspecto que tomaremos en la tercera parte de este
documento.
Y cuando los niños ya dominan el algoritmo, por ejemplo, a fines
de
tercer año o principios de cuarto, es interesante plantearles este
tipo de
problemas con el fin de enriquecer el concepto de la división. Por
ejemplo:
“Para la fiesta de la intendencia se quiere ubicar 3452 butacas.
En la plaza se
pueden colocar 132 butacas por fila. ¿Cuántas filas se pueden
armar? ¿Sobran
butacas?”
En el segundo ciclo se aspira a que los alumnos recurran al
algoritmo de
la división para enfrentarse a este tipo de problemas. Aunque
algunos aún
utilicen otros recursos, será parte de la tarea a desarrollar,
lograr que todos
reconozcan esta operación como la más económica.
Problemas de iteración7
Hay otro tipo de problemas para los cuales la división es una
herramienta apropiada. Se trata de aquellos en lo que hay que “encontrar
cuántas veces entra un número adentro de otro”, aunque los
contextos en los
que se presentan no den cuenta “inmediatamente” de esta relación.
7 Ver Documento Nº 4 (1997) GCBA y Pre
Diseño Curricular (1999) GCBA
16
Veamos algunos problemas de este tipo que los maestros plantearon
a
sus alumnos en diferentes años de la E.G.B:
En segundo año de la Escuela 1 de 25 de Mayo, les presentaron a
los
niños el siguiente problema: “Estoy
en el número 238. Doy saltitos para atrás
de 12 en 12. ¿A qué número llego más cercano al 0?” 8
Algunos alumnos realizan restas sucesivas de 12 en 12
Otros alumnos se dan cuenta de que es más conveniente restar
“varios
doces juntos” como en este caso:
8 Obviamente, en primer ciclo se
trabaja sólo con números naturales.
17
La intención de este trabajo es que los alumnos puedan comparar
los
diversos modos de resolverlo, y analizar la economía de uno sobre
el otro.
En tercer o cuarto año, los alumnos podrán reconocer la división
como
recurso para resolver también este tipo de problemas.
Por ejemplo Dora Callegare, María del Carmen Sivero y Hurí
Graciela
Piedrabuena, de la escuela Nº 1 de Gral. Alvear, plantean a los
alumnos de
sexto año de la E.G.B el siguiente problema: “Sabiendo que hoy es Martes.
¿Qué día de la semana será dentro de 1000 días? ”9
Los alumnos, para resolver este problema, se organizan en parejas.
Algunos alumnos, como Diana, comienzan la resolución haciendo
largas listas
con las iniciales de los días de la semana, señalando la cantidad
de días
transcurridos (por ejemplo 100). Luego abandona este recurso y
continúa
sumando “sietes” al darse cuenta de esta regularidad.
(transcribimos solo una
parte de su larga producción):
Bernardo propone usar una recta numérica como recurso de control y
marcar en ella los días Martes con un M y una rayita para cada uno
de los días
siguientes. Luego abandona esta estrategia y decide realizar
restas de siete en
siete, mientras dice: “Le saco siete, le saco
siete,...”. Empieza escribiéndolas y
posteriormente pregunta si puede usar la calculadora. La usa para
sumar
sietes.
9 Problema tomado del Documento Nº 4
(1997) GCBA
18
A partir del comentario de Bernardo (“le saco siete, le saco siete,...”) se
produce el siguiente diálogo:
Matías: ¡ “Entonces lo podés dividir
por siete!
Maestra: ¿Qué dividís por siete?
Matías: Y...mil dividido siete
Maestra: ¿Por qué?
Matías: Para no restarlo tantas veces
(Matías realiza la cuenta obtiene 142 de cociente y 6 de resto)
Matías: No me doy cuenta. ¿Qué son
estos ciento cuarenta y dos y estos seis
que sobran?
Luego de un pequeño diálogo con la maestra, Matías dice: “son ciento
cuarenta y dos semanas” y pregunta “¿Y estos seis que sobran?”. La clase
entera comienza a analizar el significado de ese 6 hasta que
Gaspar dice que
se trata de 6 días. Los alumnos cuentan 6: Miércoles, Jueves,
Viernes, Sábado,
Domingo y Lunes, siendo este último día la respuesta al problema.
Las docentes retoman la situación y promueven el análisis de los
números del algoritmo en relación con el problema. Luego proponen
otro
problema: “Qué día de la semana será
dentro de 3008 días” con el objetivo de
que ahora todos los alumnos utilicen la división para su
resolución.
19
Estos problemas, además de poder ser considerados como problemas
de iteración, tienen la particularidad de que la respuesta a la
pregunta
planteada, está dada por el análisis del resto, al igual que en
otras situaciones.
Problemas de análisis del resto10
Hemos planteado anteriormente problemas en los que “hay que
decidir
qué hacer con lo que sobra” para el trabajo en los primeros años.
Una vez que
los niños ya conocen el algoritmo de la división, este tipo de
problemas apunta
en una nueva dirección: analizar el significado del resto en el
cálculo.
En cuarto año, por ejemplo, se espera que los niños puedan
representar
de maneras diversas el análisis realizado sobre el resto, como
este alumno,
frente al problema planteado, escribe a su manera la partición
realizada:
A veces este resto “responde” la pregunta al problema, como en el
caso
de los 1000 días recién analizado. En otras ocasiones exige
considerar “un
elemento más”. Veamos algunos ejemplos:
Elena Trezza, Cora Corbetto y Elizabeth Albino, vicedirectora y
docentes
respectivamente de la escuela Nº 7 de Navarro, plantean a los
niños de 6º año
el siguiente problema: “Hay 625 pasajeros para ser
trasladados a un congreso
en micro. En cada micro entran 45 personas. ¿Cuántos micros se
necesitan?”.11
Algunos alumnos restaron sucesivamente 45:
Otros alumnos hicieron el algoritmo de la división, obteniendo 13
de
cociente y 40 de resto.
10 Ver Documento Nº 4 (1997) GCBA y Pre
Diseño Curricular (1999) GCBA
11 Problema tomado del Documento Nº 4
(1997) GCBA
20
Entre los alumnos que usaron restas sucesivas o el algoritmo,
algunos
dieron como respuesta “13 micros” y otros se dieron cuenta de que
era
necesario otro micro para los 40 pasajeros que sobraban. A partir
del
intercambio entre los alumnos y un análisis colectivo de las
respuestas
obtenidas se pudo arribar a la conclusión de que eran necesarios
14 micros,
como registra este alumnos: “Se
necesitan 14 micros para que no quede nadie
sin ir”
Parte III : Cálculos aproximados, mentales, algorítmicos y con
calculadora
para resolver problemas de división
Hemos planteado al comienzo de este documento las ideas centrales
del
trabajo realizado con docentes. Entre ellas: “El estudio del algoritmo es
solamente uno – y no necesariamente el principal – recurso de
cálculo que los
niños deben aprender en la EGB”.
Hoy en día ha sido ya muy difundida la concepción según la cual en
la
escuela los alumnos deben adquirir variados recursos de cálculo
(Diseño
Curricular de la Pcia de Bs. As, tomo 1, 1999; Documento 4 GCBA,
1997; Pre
Diseños GCBA ,1999; etc.) Numerosos trabajos (Parra, 1994; Saiz,
1994)
coinciden en considerar como objeto de estudio en la escuela la
variedad de
estrategias de cálculo mental, por ser éste un cálculo
reflexionado, en donde
los alumnos pueden tener control de las acciones que realizan. Y
también en
señalar numerosos riesgos de que los alumnos solamente utilicen en
la escuela
los algoritmos convencionales, dejando afuera infinidad de
recursos.
Se incluye dentro de la concepción que adoptamos de cálculo mental
tanto el calculo exacto como el aproximado, el oral como el
escrito. A partir de
muchas dificultades - ya comentadas – que los docentes planteaban
en
relación con los resultados que los niños obtenían en sus cálculos
de dividir,
hemos abordado en los encuentros actividades diversas que les
permitan a los
docentes trabajar en las aulas para que sus alumnos puedan obtener
siempre
antes de realizar un cálculo algorítimico o con calculadora,
resultados
estimativos previos y controlar posteriormente los resultados
exactos.
Otro tipo de actividades de cálculo mental abordadas involucraban
obtener resultados de ciertos cálculos apoyándose en propiedades
de los
números y las operaciones. Por ejemplo: “Sin hacer la cuenta, determinar la
21
cantidad de cifras que tendrá el cociente de dividir 123.456 por
24”, o bien,
“Para dividir 2438 por 8 un alumno hizo 2438 : 2 y obtuvo 1219.
¿Cómo
seguirías este cálculo?; “Sabiendo que 9000 : 2 = 4500 calcular
9000 : 4 ;
27000 : 6 y 90000 : 20; etc.
Del mismo modo, hoy es habitual considerar la calculadora como una
herramienta necesaria de ser utilizada diariamente en la escuela
desde primer
año para resolver problemas cuyo objetivo no es el cálculo. Este
aspecto del
trabajo generó un gran debate en los encuentros acerca de los
temores de que
su uso provocara una disminución del dominio de estrategias de
cálculo por
parte de los alumnos. Hemos planteado allí la importancia de que
los alumnos
aprendan, hoy día, muchas estrategias de cálculo más que las que
hemos
aprendido nosotros. El conocimiento acerca de cómo se inventaron y
por qué
se difundieron los algoritmos a lo largo de los años (Saiz, 1994),
como también
la revisión de su importancia actual, forman parte de los desafío
actuales de la
escuela para la transformación y actualización de los objetos que
en ella se
enseñan (Pre Diseño GCBA, 1999).
Consideramos que el uso de la calculadora para resolver problemas
permite a los alumnos y al docente (bajo ciertas condiciones y
decisiones
didácticas) “poner el énfasis” de algunas clases en las
operaciones, datos,
pasos y respuestas de los problemas, en lugar de concentrar la
atención en el
cálculo algorítmico.
Se propone también su uso diario desde los primeros años en el
aula
como instrumento de control de otros cálculos realizados y como
medio para
analizar propiedades de las operaciones. Ya en segundo ciclo
incluso como
objeto de estudio en sí misma analizando sus propiedades y
límites, etc.
Por ejemplo, algunos posibles tipos de problemas de división con
calculadora son los siguientes: “Encontrar
el resultado de hacer 2356 : 22 con
la calculadora, pero no se puede oprimir la tecla del 2 pues no
funciona” , o
bien “Juan hizo con la calculadora
5425 dividido 15 y obtuvo 339,0625. ¿Cómo
hacer, a partir de este resultado, para encontrar el resto usando
la
calculadora?”
Es incluso parte del dominio de la división, la posibilidad de
tomar
decisiones acerca de cuál es el recurso de cálculo más conveniente
en cada
problema. ¿Qué aspectos determinan la conveniencia de uno u otro
recurso?
El tamaño de los números, la “redondez” de los mismos, la cantidad
de datos a
considerar, la posibilidad de apoyarse en cálculos conocidos y
memorizados, el
contexto de la situación, etc.
Por ejemplo, un alumno de la escuela 1 Bartolome Mitre, a partir
del
trabajo propuesto por su maestra Mónica Capurro, debe analizar y
tomar
decisiones acerca de la conveniencia de uno u otro recurso de
cálculo.
Destacamos que para esta actividad, no era necesario resolver los
cálculos,
solo analizarlos:
22
¿Y los cálculos algorítmicos? Ha sido desarrollada la concepción
según
la cual es posible abordar la construcción del algoritmo a partir
de los cálculos
mentales iniciales producidos por los alumnos. Esto implica
postergar el estudio
de los algoritmos para cuando los alumnos han desplegado ya
estrategias
diversificadas de cálculo mental. Hemos priorizado en los
encuentros aquellas
actividades que permitan a los alumnos “tender puentes” entre sus
propios
cálculos y los algoritmos de uso social (Ferreiro, 1986; Carraher,
Carraher,
Schliemann, 1991) y entre sus escrituras diversificadas y las que
la escuela
intenta difundir. En varios de los problemas analizados
anteriormente hemos
podido observar la gran variedad de modos que encuentran los
alumnos de
registrar las acciones que realizan al dividir. Las mismas son,
desde nuestra
perspectiva, el punto de partida necesario para aprender las
nuevas
representaciones.
Esto implica que los alumnos puedan, inicialmente conocer
algoritmos
en los que hay un mayor registro escrito de los cálculos
provisorios o
intermedios. El objetivo es que los niños puedan controlar las
acciones
realizadas durante el proceso de la división. El algoritmo
convencional “oculta”
las descomposiciones de los números, las multiplicaciones y las
restas. Estos
algoritmos un poco más “desplegados” muestran aquellas
operaciones.
Evidentemente, estos cálculos intermedios, podrán ser abandonados
por los
alumnos a medida que ya no los precisen.
Para ello, hemos propuesto a los docentes de tercer año trabajar
en esta
pequeña secuencia de actividades:
- resolución de problemas diversos de
división (ver parte I y II) y comparación
y análisis de las estrategias utilizadas. Difundir la idea de que
todos estos
problemas se pueden resolver sumando, restando, multiplicando,
etc.
Análisis de escrituras diversas para registrar los cálculos
- dominio de un conjunto de cálculos
multiplicativos (todos los relativos a la
tabla pitagórica y multiplicaciones por la unidad seguida de
ceros: 8 x 20; 45
x 1000; 6 x 50, etc.)
- resolución de cálculos mentales
“horizontales” de divisiones con y sin resto
(1000: 4; 3000: 6; 4500: 9; etc. y 51: 10 = 5 y sobra 1; 43: 4 =
10 y sobra 3)
- presentación de un algoritmo
“desplegado” (con multiplicaciones, restas y
tratando globalmente el número, sin descomponerlo)
23
Mostraremos a continuación producciones de los alumnos para
ilustrar el
trabajo sobre los algoritmos de este tipo. En el marco del trabajo
antes
mencionado de resolución de problemas de embaldosado en la escuela
Nº 1
de Hurlingham, los niños produjeron escrituras espontáneas
diversas para
mostrar los cálculos realizados. Es interesante resaltar que
dichas escrituras
guardan relación con los números que conforman el algoritmo.
En ambos casos, se trata de una multiplicación y una suma o el
registro
del resto. Será tarea de la escuela, como se hizo en este caso,
relacionar estas
escrituras con los algoritmos correspondientes de división:
23 I 5 23 I 3
3 4 2 7
Hemos propuesto que, en las escrituras de los algoritmos, los
alumnos,
con el fin de tener mayor control sobre sus cálculos tengan la
posibilidad de
registrar los cálculos parciales que realizan, o bien de seleccionar
la magnitud
de los mismos.
Por ejemplo, en la escuela Nº 14 de N. De La Riestra, (25 de Mayo)
la
maestra de 3º año Ana Migiotti les propone a los alumnos una serie
de
problemas que tienen la finalidad de “ensayar” algoritmos de
división. En clases
anteriores, los alumnos habían apelado a diferentes recursos para
resolver
problemas de división: restas sucesivas, sumas, aproximaciones por
multiplicación. A partir de estas producciones de los alumnos, su
maestra les
presentó una organización de los cálculos que ellos estaban
desplegando,
llegando a escrituras como las siguientes:
24
Y en la escuela Nº 3 de Roque Pérez, la maestra de tercer año,
Mónica
Mendez, también favorece que sus alumnos resuelvan las divisiones
con el
algoritmo que permite mostrar las multiplicaciones y restas que
están
“escondidas” en el algoritmo convencional. Por ejemplo, Lucas y
Pedro hacen
cálculos distintos al interior del algoritmo, llegando ambos al
resultado correcto:
25
Otros alumnos, también de tercer año, resuelven de este modo los
cálculos aún con cocientes de más cifras:
En la escuela Nº 1 “Bartolome Mitre”, la maestra Mónica Capurro
también trabaja con sus alumnos de tercer año problemas que
impliquen la
división. Juan Angel resuelve los cálculos mostrando las multiplicaciones
parciales que va realizando, de la siguiente manera:
Hemos tratado de mostrar, en esta tercera parte, un conjunto de
actividades y producciones de los alumnos, cuya finalidad es la
adquisición de
una amplia gama de recursos de cálculo. Hacer más transparentes
estos
objetos para los niños, ha sido una de las preocupaciones del
trabajo.
Aprender a ver lo que los niños sí saben, recuperarlo en la clase
y difundirlo ha
sido la otra.
Como señalan diversos autores (Ferreiro, 1986 y Carraher,
Carraher,
Schlieman, 1991) los niños en contextos extraescolares, por
necesidades de
índole social, producen estrategias de cálculo propias. Estas, en
general, en la
escuela, no son reconocidas. Y paradójicamente la escuela, les
ofrece
numerosas veces otros recursos de cálculo “oscuros a sus ojos”,
obsoletos
presentados como si fueran los únicos. Y sin mostrar los vínculos
entre unos y
otros.
26
Desarmar este circuito que conduce a la discriminación y al
fracaso de
tantos niños en la escuela, es una de nuestras urgencias...
Parte IV: Las relaciones entre Dividendo, divisor, cociente y resto
un
objeto de estudio para el tercer ciclo.
Entre las ideas iniciales que forman parte del marco de este
trabajo
desarrollaremos en este punto la siguiente: “El estudio de la división es de tal
complejidad que exige muchos años de la escolaridad. Su enseñanza
abarca
también el tercer ciclo”
Hemos mencionado anteriormente una variedad de problemas que
involucran la división, como así un trabajo posible de desarrollar
en torno a
diferentes recursos de cálculo vinculados a esta operación.
La división entera puede ser un objeto de trabajo también en el
tercer
ciclo. La intención es que los alumnos se enfrenten a una nueva
variedad de
problemas a través de los cuales deban volver a analizar la
relación Dividendo
= cociente x divisor + resto; resto < divisor. Pero, en este
ciclo, la división no
solo permitirá resolver problemas de reparto o iteración, sino
también, analizar
y anticipar resultados. Es decir, se intenta que los alumnos
puedan centrar el
análisis en las condiciones que cumple cada uno de los números que
intervienen en la “fórmula” D = c x d + r (r < d), haciendo
explícitas ciertas
características de la relación.
En la Región V (Distrito de 3 de Febrero), se realizaron varios
encuentros con maestros y profesores del tercer ciclo tendientes
al análisis de
las dificultades que tienen los alumnos cuando se enfrentan por
primera vez al
trabajo algebraico. Fue en el marco de dicho análisis que se
propuso pensar
cuestiones relacionadas con la división, a partir de un conjunto
de problemas
posibles. Estos problemas recuperan los saberes de los alumnos
elaborados
en los ciclos anteriores y presentan ciertas dificultades que
ponen en juego
nuevos conocimientos relacionados con la división.
Presentamos a continuación parte del Documento para Séptimo grado
de la Dirección de Currícula de la Secretaría de Educación del
G.C.B.A. (2001)
inspirado en el trabajo de investigación realizado por la
Profesora Patricia
Sadovsky (UBA) en el marco de la articulación entre la aritmética
y el álgebra12.
Este material contiene varios de los ejemplos abordados con los
docentes y un análisis didáctico de los mismos:
Ejemplo 1:
Proponer una cuenta de dividir en la que
el divisor sea 45 y el resto 12. ¿Hay
una sola? ¿Cuántas hay? ¿Por qué?
12 Agradecemos a Patricia Sadovsky,
Carmen Sessa y Gustavo Barallobres la autorización para
reproducir esta parte.
27
Evidentemente, se trata de un problema que tiene infinitas
soluciones, aunque
los alumnos, en la búsqueda de la solución al problema, no
anticipen este fenómeno.
Para hallar distintas cuentas puede ser que algunos alumnos
atribuyan
arbitrariamente un valor al cociente, lo multipliquen por el
divisor y sumen el resto a
este resultado para obtener el dividendo. Sin embargo, no puede
esperarse que la
mayoría realice de entrada este procedimiento. En numerosos casos,
buscan
azarosamente valores para el dividendo, realizan la cuenta e
intentan corregir, mediante
ensayos y errores, el valor del dividendo, de manera de aproximarse
a la solución.
Ahora bien. esta situación pone de manifiesto un hecho particular,
poco
desarrollado en el segundo ciclo, que tiene que ver con la
posibilidad de aceptar que
ellos pueden atribuir valores arbitrarios al cociente y analizar
que estos valoras son
independientes del resto y del divisor. Estas cuestiones deberán
ser elaboradas como
producto del trabajo con este tipo de problemas.
Al mismo tiempo que un problema como el anterior contribuye a una
reconceptualización de la división entera abre el camino a la
movilización de la noción
de variable: en la medida en que se modifica el valor asignado al
cociente, se modifica
el valor del dividendo. Más aún, si se va incrementando de 1 en 1
el valor del cociente,
se incrementa de 45 en 45 el valor del dividendo. Para favorecer
este análisis se podría
ubicar en una tabla los valores del cociente y del dividendo, de
modo de poner de
manifiesto la regularidad de las modificaciones que se van
operando:
Cociente Dividendo
1 57
2 102
3 147
4 192
5 237
El trabajo puede continuarse con distintas preguntas como por
ejemplo:
- ¿Será cierto que todos los dividendos
que se pueden obtener terminarán con 7
o con 2? ¿por qué?
- ¿Pueden encontrar un cociente y un
dividendo de manera que este último sea
mayor que 1000?
- ¿Cuál es el dividendo más grande que
pueden encontrar?
Si en la clase ya se han resuelto algunos problemas que impliquen
el recurso de
usar fórmulas, se puede llegar a pedir que encuentren una fórmula
para expresar todos
los dividendos posibles.
El trabajo a desplegar en la resolución de esta situación adquiere
una
complejidad aún mayor que el propuesto para ciclos anteriores: la
producción de
infinitas soluciones para un problema, la validación de una
propiedad sobre un conjunto
infinito (todos los dividendos
posibles, que son infinitos, terminan en 2 o en 7 ) y la
problemática de la descripción de ese conjunto mediante una
“fórmula” que permita
obtener cualquier solución. Es sin duda un trabajo muy fértil
cuando se piensa en la
entrada al álgebra.
Sabemos que esta entrada al álgebra suele ser fuente de fracaso
para muchos
alumnos en los comienzos del secundario. Lo que estamos
proponiendo es un trabajo en
28
séptimo grado que, apoyándose en objetos muy conocidos para los
alumnos- como es en
este caso la división -, permita comenzar un trabajo que sirva
como punto de apoyo para
aprendizajes posteriores.
Hay otras cuestiones que son interesantes de abordar con los
alumnos a partir de
problemas que impliquen la división entre números naturales.
Presentamos uno que
tiene una cantidad finita de soluciones.
Ejemplo 2:
Proponer una cuenta de dividir en la cual
el divisor sea 5 y el cociente sea 12.
¿Hay una sola cuenta? ¿Cuántas hay?
Una de las ideas centrales que mueve este problema es el hecho de
que el resto
puede adquirir únicamente los valores 0, 1, 2, 3 y 4, ya que debe
ser menor que el
divisor. Esta condición no es evidente para los alumnos cuando
comienzan a buscar
soluciones al problema. La discusión y la búsqueda de dividendos y
restos que cumplan
con las condiciones que plantea el problema debe permitir analizar
que si se asignan
azarosamente valores al dividendo, se puede llegar a obtener
restos que no responden a
las características del cociente entre naturales. La idea central
es poder arribar a la
conclusión de que sólo es posible que los dividendos sean 60, 61,
62, 63 y 64 pues,
para estos dividendos, los restos que se obtienen serán menores
que 5 (el divisor). Y
este problema solo admite 5 soluciones. En este caso también se
juega la idea de
variable.
Veamos otro ejemplo que pone en juego el análisis de la cantidad
de soluciones,
pero que exigen pensar en otro tipo de condiciones, por ejemplo:
Ejemplo 3:
Buscar cuentas de dividir en las cuales
el cociente sea 12 y el resto sea 6.
¿Cuántas hay?
En este caso, los alumnos pueden reconocer la posibilidad de
proponer varias
cuentas de dividir que cumplan con la condición que plantea el
problema. Es posible
que, apoyados en la relación D = c x d + r , identifiquen que al
multiplicar 12 por
cualquier número (divisor) y, a este resultado sumarle 6, se
obtiene el dividendo. De
esta manera aparecerán diferentes cuentas:
102 8 126 10 114 9
6 12 6 12 6 12
Es muy probable que aparezcan otras que se producen desde la misma
relación,
pero que no verifican la condición que plantea el problema, por
ejemplo, al hacer la
cuenta 12 x 4 + 6 se obtiene 54 , pero al hacer 54 : 4 se obtiene
como cociente 13 y
resto 2.
Si este tipo de errores no apareciera, es el docente el que podrá
proponer este u
otros ejemplos en los cuales se recurre a la relación D = c x d +
r, pero el resultado
29
obtenido no cumple con las condiciones del problema. El análisis
de estos casos deberá
permitir reconocer que, los ejemplos donde la cuenta es correcta,
el resto es menor que
el divisor y en donde resultó incorrecto, el resto era mayor que
el divisor.
De esta manera, no solo se trata de una situación que permite
pensar en un
conjunto de soluciones, sino que podría ayudar a resignificar las
condiciones que debe
cumplir el resto en la división entre números naturales. Se espera
poder concluir que
hay infinitas cuentas posibles pero hay una que es “la primera de
todas” o “la más
chica”: aquella donde el divisor es 7 y en consecuencia, el
dividendo resulta 90. “De allí
en adelante, se pueden armar todas las cuentas que se nos ocurra”
Otro tipo de situaciones deberá permitir analizar la imposibilidad
de encontrar
solución al problema, por ejemplo:
Ejemplo 4:
¿Es posible que en una cuenta de dividir,
el dividendo sea 32, el cociente 12 y el
resto 1? ¿Por qué?
En este caso se espera que los alumnos puedan identificar que el
cociente admite
un único valor, ya que es el resultado de hacer 32: 12 y su
cociente es 2. Pero en
consecuencia el resto deberá ser 8 y no 1 como plantea el
problema. A partir de este
análisis se podrá proponer a los alumnos modificar el valor del
dividendo de manera que
sí admita solución. O bien, modificar el valor del resto. Este
tipo de situaciones exige
un análisis pormenorizado de las características que adquiere cada
uno de los números
que intervienen en una cuenta de dividir.
Para la resolución de los problemas planteados anteriormente no se
espera , ni se
pretende exigir a los alumnos, el uso de letras que representen el
problema. Si algún
alumno apela a ellas, será “bienvenido”, pero no estamos pensando
a esta altura que
sean las letras el recurso usado para resolver los problemas.
Más bien estamos imaginando un trabajo en el cual se aceptarán
escrituras no
convencionales producidas por los alumnos, argumentaciones basadas
en ciertas
propiedades, enunciadas verbalmente o apoyadas en escrituras poco
precisas, no
formales. No se apunta en esta etapa a la introducción de la
escritura de las ecuaciones
involucradas.
Se piensa más que nada en actividades de exploración, y, a partir
de allí, a
medida que los alumnos avancen en la resolución y análisis de los
problemas, el docente
podrá trabajar sobre el conjunto de condiciones que determinan que
dichos problemas
tengan una, varias, ninguna o infinitas soluciones. Los alumnos
tendrán una oportunidad
para resignificar las características de la cuenta de dividir, las
condiciones que cumplen
o deben cumplir cada uno de los números que intervienen en dicha
cuenta.
El análisis de la relación D = c x d + r (0 = r < d) permitirá identificar, entre
otras cosas que, fijados el divisor y el resto, el cociente es
independiente de éstos y
puede atribuírsele cualquier valor. En tanto que si se fijan el
cociente y el resto, el
divisor podrá admitir cualquier valor mayor que el resto, etc.
30
Como decíamos a propósito del ejemplo 4, pensamos que en el
trabajo con este
tipo de problemas, los alumnos adquieren algunas ideas
conceptuales que son
herramientas muy propicias para el trabajo algebraico.
Por otro lado, se considera que la familiaridad que los alumnos
tienen con los
números naturales constituye un buen punto de apoyo para abordar
el tratamiento de lo
general que es una de las características de aquello que los
alumnos deben comenzar a
concebir como parte del trabajo en matemática.
31
Conclusiones
Hemos intentado mostrar a lo largo de este documento el trabajo
realizado con un conjunto de docentes de diferentes escuelas y
regiones de la
Provincia en torno a la enseñanza de la división.
Destacamos que la complejidad de este contenido es tal que debe
abarcar los tres ciclos de la escolaridad. Con el fin de
distinguir los diferentes
aspectos que pueden ser abordados sistemáticamente en cada uno de
ellos,
proponemos a continuación un ensayo de distribución por ciclos o
años
tomando como fuentes el Diseño Curricular de la Provincia de Bs.
As. y
considerando como complemento, los Pre Diseños Curriculares de la
Ciudad
de Bs. As.
No se trata de una prescripción, sino de un aporte para ser
sometido a
debate en cada escuela.
Contenidos sobre la división en el Primer ciclo13
- Interpretación de los significados y
usos de las cuatro operaciones básicas
con números naturales, elaborando e
implementando estrategias de cálculo
en forma exacta y aproximada, produciendo y resolviendo
situaciones
problemáticas.
- Estimación e interpretación de
resultados de cálculos en forma mental, por
escrito y con uso de calculadora, comprobando su razonabilidad y
justificando los procedimientos empleados.
- Resolución de problemas de reparto y
partición mediante diferentes
procedimientos (dibujos, conteo, sumas o restas reiteradas) en
primero y
segundo año
- Resolución de problemas
correspondientes a diferentes significados de la
división (partición, reparto, organizaciones rectangulares, series
proporcionales, iteración, etc.) por medio de variados
procedimientos
(sumas o restas reiteradas, multiplicaciones) en segundo y tercer
año.
- Dominio progresivo de variados
recursos de cálculo que permitan realizar
divisiones: sumas sucesivas, restas sucesivas, aproximaciones
mediante
productos, uso de resultados multiplicativos en combinación con
restas, etc,
entre segundo y tercer año.
- Utilización de resultados numéricos
conocidos y de las propiedades de los
números y las operaciones para resolver otros cálculos.
Explicitación, por
parte de los alumnos, de las estrategias utilizadas. Comparación
posterior
de las mismas, en los tres primeros años.
- Cálculos mentales de multiplicaciones
y divisiones apoyándose en
resultados conocidos, en propiedades del sistema de numeración o
de las
operaciones, en segundo y tercer año.
13 En
aquellos contenidos en los que no se especifica el año, se considera su
tratamiento en
todo el ciclo.
32
- Elaboración de distintas estrategias
de cálculo aproximado para resolver
problemas en los cuales no sea necesario un cálculo exacto.
- Construcción del algoritmo desplegado
de la división a partir de los recursos
elaborados por lo alumnos en tercer año
Contenidos sobre la división en el Segundo ciclo
- Comprensión del significado y
aplicación de las operaciones básicas con
números naturales
- Utilización adecuada de los
algoritmos convencionales, justificando las
estrategias desarrolladas
- Resolución de problemas de
organizaciones rectangulares utilizando la
multiplicación y la división en cuarto año.
- Resolución de problemas de reparto -
con incógnita tanto en la cantidad de
partes como en el valor de cada parte –utilizando el algoritmo de
la división
o procedimientos de cálculo mental en cuarto y quinto años.
- Resolución de problemas de división
que involucren un análisis del resto en
cuarto y quinto años.
- Elaboración de distintas estrategias
de cálculo exacto y aproximado
(algorítmico, mental o con calculadora).
- Estimación del resultado de
multiplicaciones y divisiones y cálculo de
número de cifras de cociente en cuarto y quinto años.
- Construcción del algoritmo de la
división en cuarto año a partir del algoritmo
desplegado utilizado en tercer año.
- Resolución de problemas de iteración
inicialmente por medio de restas o
sumas sucesivas , de multiplicaciones y luego por medio de
divisiones en
quinto y sexto años.
- Utilización de las relación D = c x d
+ r y r <d para resolver problemas en
quinto y sexto años.
- Cálculo mental de multiplicaciones y
divisiones apoyándose en propiedades
de las operaciones.
- Utilización de la calculadora para
resolver situaciones problemáticas y para
controlar divisiones realizadas por otros procedimientos.
- Utilización de la calculadora para
verificar relaciones anticipadas entre
números y operaciones.
- Uso de la calculadora para
reconstruir el resto de la división en quinto y
sexto años
Contenidos sobre la división en el Tercer ciclo
- Estimación, interpretación y
comunicación de los cálculos, comprobando su
razonabilidad, valorando la precisión en la expresión de los
mismos y
justificando los procedimientos empleados
- Análisis de la relación Dividendo =
Cociente x divisor + resto (con r <
d).Establecimiento de condiciones a partir de las cuales esta
relación admite
infinitos valores, una solución única, no admite solución, etc.
- Primeras escrituras de las soluciones
que admite la relación en términos
algebraicos
33
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